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Exercices pratiques

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1. Nombres complexes

🔢

Forme algébrique, géométrique, exponentielle. Applications à la géométrie.

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2. Arithmétique

🧮

Divisibilité, congruences, théorèmes fondamentaux de l'arithmétique.

4 cours10 exercices

3. Matrices et graphes

📊

Opérations sur les matrices, graphes orientés et non orientés.

6 cours15 exercices

4. Équations diophantiennes

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Résolution d'équations à coefficients entiers, algorithme d'Euclide étendu.

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Nombres complexes, arithmétique, matrices et équations diophantiennes

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Formules essentielles

Les formules clés à maîtriser absolument

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Quelques nombres remarquables en mathématiques

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

Nombre d'Euler

Base des logarithmes naturels ≈ 2,718

i = \sqrt{-1}

Unité imaginaire

Fondement des nombres complexes

\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Nombre d'or

Rapport de la section dorée ≈ 1,618

“Les mathématiques sont l'alphabet avec lequel Dieu a écrit l'univers.”
— Galilée

Formules essentielles

Les formules clés à retenir pour maîtriser les mathématiques expertes

Forme d'Euler

e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)

Relation fondamentale entre exponentielle complexe et fonctions trigonométriques

Formule de Moivre

(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)

Puissance n-ième d'un nombre complexe de module 1

Somme géométrique

\sum_{k=0}^{n-1} z^k = \frac{1-z^n}{1-z} \quad (z \neq 1)

Somme des n premiers termes d'une suite géométrique

Déterminant 2×2

\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc

Calcul du déterminant d'une matrice 2×2

Matrice de rotation

R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}

Matrice représentant une rotation d'angle θ dans le plan

Théorème de Bézout

\gcd(a,b) = au + bv

Il existe des entiers u et v tels que le PGCD s'exprime comme combinaison linéaire

Identités remarquables dans ℂ

Racines de l'unité

Racines n-ièmes de l'unité :

\omega_k = e^{2i\pi k/n} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)

Somme nulle :

\sum_{k=0}^{n-1} \omega_k^j = \begin{cases} n & \text{si } j \equiv 0 \pmod{n} \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}

Matrices et nombres complexes

Correspondance :

z = a + bi \leftrightarrow M_z = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

Propriété multiplicative :

M_{z_1 \cdot z_2} = M_{z_1} \cdot M_{z_2}

Théorèmes fondamentaux d'arithmétique

Théorème fondamental

Tout entier n > 1 se décompose de manière unique :

n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}

où les pᵢ sont des nombres premiers distincts

Algorithme d'Euclide

Pour calculer PGCD(a,b) :

\begin{align} a &= bq_1 + r_1 \\ b &= r_1q_2 + r_2 \\ &\vdots \\ r_{n-1} &= r_nq_{n+1} + 0 \end{align}

Alors PGCD(a,b) = rₙ

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\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

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“Les mathématiques sont l'alphabet avec lequel Dieu a écrit l'univers.”
— Galilée

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e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)

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(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)

Puissance n-ième d'un nombre complexe de module 1

Somme géométrique

\sum_{k=0}^{n-1} z^k = \frac{1-z^n}{1-z} \quad (z \neq 1)

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\omega_k = e^{2i\pi k/n} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)

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Correspondance :

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Tout entier n > 1 se décompose de manière unique :

n = p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}

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Algorithme d'Euclide

Pour calculer PGCD(a,b) :

\begin{align} a &= bq_1 + r_1 \\ b &= r_1q_2 + r_2 \\ &\vdots \\ r_{n-1} &= r_nq_{n+1} + 0 \end{align}

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