Maths-Expertes | Cours et Exercices pour l'option Terminale

1Définition de l'ensemble ℂ

L'ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$ , a été créé pour résoudre des équations qui n'avaient pas de solutions dans l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ . Vous connaissiez jusqu'à présent l'inclusion des ensembles suivants : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Désormais, un ensemble encore plus grand est créé, et $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ .

Le nouvel ensemble des nombres complexes contient tous les nombres réels que vous connaissez.
De nouveaux nombres non-réels vont être introduits.

Problème initial

Comment résoudre l'équation $x^2 = -1$ dans $\mathbb{R}$ ?

Cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ car le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.

Pour résoudre ce problème, les mathématiciens ont introduit un nouveau nombre, noté $i$ , appelé unité imaginaire.

Définition de l'unité imaginaire

i^2 = -1

Le nombre $i$ est tel que son carré égale $-1$ .

2Forme algébrique d'un nombre complexe

Théorème fondamental

Tout nombre complexe $z$ peut s'écrire de manière unique sous la forme :

z = a + ib

où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

Terminologie

Cette écriture est appelée la forme algébrique ou forme cartésienne du nombre complexe.

Exemples

$z_1 = 3 + 2i$
$z_2 = -1 + 5i$
$z_3 = 4 - 3i$
$z_4 = -2 - 7i$

Notation

Dans la forme $z = a + ib$ :

• $a$ est la partie réelle
• $b$ est la partie imaginaire
• $i$ est l'unité imaginaire

3Partie réelle et partie imaginaire

Définitions

Soit $z = a + ib$ un nombre complexe avec $a, b \in \mathbb{R}$ .

\text{Re}(z) = a

Partie réelle de z

\text{Im}(z) = b

Partie imaginaire de z

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Exemples pratiques

Pour $z_1 = 5 + 3i$ :

• $\text{Re}(z_1) = 5$
• $\text{Im}(z_1) = 3$

Pour $z_2 = -2 - 4i$ :

• $\text{Re}(z_2) = -2$
• $\text{Im}(z_2) = -4$

Inclusion ℝ ⊂ ℂ

L'ensemble des nombres réels est inclus dans l'ensemble des nombres complexes. En effet, tout nombre réel $a$ peut s'écrire sous la forme $a + 0i$ .

Nombres réels purs

Un nombre complexe $z = a + ib$ est réel pur si :

b = 0 \text{ donc } z = a

Nombres imaginaires purs

Un nombre complexe $z = a + ib$ est imaginaire pur si :

a = 0 \text{ donc } z = ib

Propriétés fondamentales

Égalité de nombres complexes

Soient $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ deux nombres complexes.

z = z' \Leftrightarrow \begin{cases} a = a' \\ b = b' \end{cases}

Nombre complexe nul

Un nombre complexe $z = a + ib$ est nul si et seulement si :

z = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \end{cases}

1Définition de l'ensemble ℂ

Le nouvel ensemble des nombres complexes contient tous les nombres réels que vous connaissez.
De nouveaux nombres non-réels vont être introduits.

Problème initial

Comment résoudre l'équation $x^2 = -1$ dans $\mathbb{R}$ ?

Cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ car le carré d'un nombre réel est toujours positif ou nul.

Pour résoudre ce problème, les mathématiciens ont introduit un nouveau nombre, noté $i$ , appelé unité imaginaire.

Définition de l'unité imaginaire

i^2 = -1

Le nombre $i$ est tel que son carré égale $-1$ .

2Forme algébrique d'un nombre complexe

Théorème fondamental

Tout nombre complexe $z$ peut s'écrire de manière unique sous la forme :

z = a + ib

où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

Terminologie

Cette écriture est appelée la forme algébrique ou forme cartésienne du nombre complexe.

Exemples

$z_1 = 3 + 2i$
$z_2 = -1 + 5i$
$z_3 = 4 - 3i$
$z_4 = -2 - 7i$

Notation

Dans la forme $z = a + ib$ :

• $a$ est la partie réelle
• $b$ est la partie imaginaire
• $i$ est l'unité imaginaire

3Partie réelle et partie imaginaire

Définitions

Soit $z = a + ib$ un nombre complexe avec $a, b \in \mathbb{R}$ .

\text{Re}(z) = a

Partie réelle de z

\text{Im}(z) = b

Partie imaginaire de z

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Exemples pratiques

Pour $z_1 = 5 + 3i$ :

• $\text{Re}(z_1) = 5$
• $\text{Im}(z_1) = 3$

Pour $z_2 = -2 - 4i$ :

• $\text{Re}(z_2) = -2$
• $\text{Im}(z_2) = -4$

Inclusion ℝ ⊂ ℂ

L'ensemble des nombres réels est inclus dans l'ensemble des nombres complexes. En effet, tout nombre réel $a$ peut s'écrire sous la forme $a + 0i$ .

Nombres réels purs

Un nombre complexe $z = a + ib$ est réel pur si :

b = 0 \text{ donc } z = a

Nombres imaginaires purs

Un nombre complexe $z = a + ib$ est imaginaire pur si :

a = 0 \text{ donc } z = ib

Propriétés fondamentales

Égalité de nombres complexes

Soient $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ deux nombres complexes.

z = z' \Leftrightarrow \begin{cases} a = a' \\ b = b' \end{cases}

Nombre complexe nul

Un nombre complexe $z = a + ib$ est nul si et seulement si :

z = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} a = 0 \\ b = 0 \end{cases}

Forme algébrique du nombre complexe

1Définition de l'ensemble ℂ

Problème initial

Définition de l'unité imaginaire

2Forme algébrique d'un nombre complexe

Théorème fondamental

Terminologie

Exemples

Notation

3Partie réelle et partie imaginaire

Définitions

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Exemples pratiques

Inclusion ℝ ⊂ ℂ

Nombres réels purs

Nombres imaginaires purs

Propriétés fondamentales

Égalité de nombres complexes

Nombre complexe nul

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Forme algébrique du nombre complexe

1Définition de l'ensemble ℂ

Problème initial

Définition de l'unité imaginaire

2Forme algébrique d'un nombre complexe

Théorème fondamental

Terminologie

Exemples

Notation

3Partie réelle et partie imaginaire

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Nombres réels purs

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Propriétés fondamentales

Égalité de nombres complexes

Nombre complexe nul