Maths-Expertes | Cours et Exercices pour l'option Terminale

AOpérations élémentaires

Addition de nombres complexes

Pour tous réels $a, b, a', b'$ :

(a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b')

On additionne séparément les parties réelles et imaginaires.

Opposé d'un nombre complexe

L'opposé de $z = a + ib$ est :

-z = -(a + ib) = (-a) + i(-b)

Multiplication par un réel

Pour tout $k \in \mathbb{R}$ et $z = a + ib$ :

k(a + ib) = ka + i(kb)

Multiplication de deux complexes

Pour $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ :

(a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)

On développe comme un produit classique en utilisant $i^2 = -1$ .

Exemples de calculs

Puissance de i :

i^3 = i^2 \times i = -1 \times i = -i

Addition et soustraction :

3 + 2i - (3i - 2) = 3 + 2i - 3i + 2 = 5 - i

Multiplication :

\begin{align} (3 - 2i)(2 + 3i) &= 6 + 9i - 4i - 6i^2 \\ &= 6 + 5i - 6(-1) \\ &= 6 + 5i + 6 = 12 + 5i \end{align}

BPropriétés algébriques

Propriétés fondamentales

Pour tous $z, z', z'' \in \mathbb{C}$ :

Commutativité

\begin{align} z + z' &= z' + z \\ z \cdot z' &= z' \cdot z \end{align}

Associativité

\begin{align} (z + z') + z'' &= z + (z' + z'') \\ (z \cdot z') \cdot z'' &= z \cdot (z' \cdot z'') \end{align}

Éléments neutres

\begin{align} z + 0 &= z \\ z \times 1 &= z \end{align}

Distributivité

z(z' + z'') = zz' + zz''

Linéarité des parties réelle et imaginaire

Pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$ et tout réel $k$ :

\begin{align} \text{Re}(z + z') &= \text{Re}(z) + \text{Re}(z') \\ \text{Im}(z + z') &= \text{Im}(z) + \text{Im}(z') \end{align}

\begin{align} \text{Re}(kz) &= k\text{Re}(z) \\ \text{Im}(kz) &= k\text{Im}(z) \end{align}

💬 Les parties réelle et imaginaire sont linéaires.

CIdentités remarquables et méthodes

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Identités remarquables

Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ :

\begin{align} (a + ib)^2 &= a^2 - b^2 + 2iab \\ (a - ib)^2 &= a^2 - b^2 - 2iab \\ (a + ib)(a - ib) &= a^2 + b^2 \end{align}

🧠 On développe comme dans ℝ, en utilisant que $i^2 = -1$ .

Développement classique

Développer $(2 + 3i)(1 - 4i)$

Étape 1 : Utiliser la double distributivité

(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i)

Étape 2 : Calculer chaque terme

= 2 - 8i + 3i - 12i^2

Étape 3 : Remplacer $i^2$ par $-1$

= 2 - 5i + 12 = 14 - 5i

Le binôme de Newton (approfondissement)

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $u, v \in \mathbb{C}$ :

(u + v)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{n-k} v^k

Exemple : $(2 + i)^3$

\begin{align} (2 + i)^3 &= 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 + i^3 \\ &= 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i \end{align}

AOpérations élémentaires

Addition de nombres complexes

Pour tous réels $a, b, a', b'$ :

(a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + i(b + b')

On additionne séparément les parties réelles et imaginaires.

Opposé d'un nombre complexe

L'opposé de $z = a + ib$ est :

-z = -(a + ib) = (-a) + i(-b)

Multiplication par un réel

Pour tout $k \in \mathbb{R}$ et $z = a + ib$ :

k(a + ib) = ka + i(kb)

Multiplication de deux complexes

Pour $z = a + ib$ et $z' = a' + ib'$ :

(a + ib)(a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)

On développe comme un produit classique en utilisant $i^2 = -1$ .

Exemples de calculs

Puissance de i :

i^3 = i^2 \times i = -1 \times i = -i

Addition et soustraction :

3 + 2i - (3i - 2) = 3 + 2i - 3i + 2 = 5 - i

Multiplication :

\begin{align} (3 - 2i)(2 + 3i) &= 6 + 9i - 4i - 6i^2 \\ &= 6 + 5i - 6(-1) \\ &= 6 + 5i + 6 = 12 + 5i \end{align}

BPropriétés algébriques

Propriétés fondamentales

Pour tous $z, z', z'' \in \mathbb{C}$ :

Commutativité

\begin{align} z + z' &= z' + z \\ z \cdot z' &= z' \cdot z \end{align}

Associativité

\begin{align} (z + z') + z'' &= z + (z' + z'') \\ (z \cdot z') \cdot z'' &= z \cdot (z' \cdot z'') \end{align}

Éléments neutres

\begin{align} z + 0 &= z \\ z \times 1 &= z \end{align}

Distributivité

z(z' + z'') = zz' + zz''

Linéarité des parties réelle et imaginaire

Pour tous $z, z' \in \mathbb{C}$ et tout réel $k$ :

\begin{align} \text{Re}(z + z') &= \text{Re}(z) + \text{Re}(z') \\ \text{Im}(z + z') &= \text{Im}(z) + \text{Im}(z') \end{align}

\begin{align} \text{Re}(kz) &= k\text{Re}(z) \\ \text{Im}(kz) &= k\text{Im}(z) \end{align}

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Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ :

\begin{align} (a + ib)^2 &= a^2 - b^2 + 2iab \\ (a - ib)^2 &= a^2 - b^2 - 2iab \\ (a + ib)(a - ib) &= a^2 + b^2 \end{align}

🧠 On développe comme dans ℝ, en utilisant que $i^2 = -1$ .

Développement classique

Développer $(2 + 3i)(1 - 4i)$

Étape 1 : Utiliser la double distributivité

(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i)

Étape 2 : Calculer chaque terme

= 2 - 8i + 3i - 12i^2

Étape 3 : Remplacer $i^2$ par $-1$

= 2 - 5i + 12 = 14 - 5i

Le binôme de Newton (approfondissement)

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et tout $u, v \in \mathbb{C}$ :

(u + v)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{n-k} v^k

Exemple : $(2 + i)^3$

\begin{align} (2 + i)^3 &= 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot i + 3 \cdot 2 \cdot i^2 + i^3 \\ &= 8 + 12i - 6 - i = 2 + 11i \end{align}

Opérations sur les nombres complexes

🧠Objectifs de la leçon

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Multiplication par un réel

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